n属于N,且n>4,求证:2^n>n^2+n+1

按照楼主要求. 用2项式定理 来证明

2^n = (1 + 1)^n
展开
(1+1)^n = C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + …… + C(n,n)
因为 n ≥ 5， 所以以上展开式子至少由 6项组成
同时 C(n,0) = C(n,n) 、 C(n,1) = C(n, n-1)， C(n,2)=C(n, n-2)

因此
(1+1)^n ≥ 2* [C(n,0) + C(n,1) + C(n,2)]
= 2 * [ 1 + n + n(n-1)/2]
= 2 + 2n + n(n-1)
= n^2 + n + 2
> n^2 + n + 1
因此 ，命题成立

数学归纳法
n=5，成立
假设n=k成立,k>=5
2^k>k^2+k+1
2^(k+1)=2*2^k
>2k^2+2k+2

2k^2+2k+2-[(k+1)^2+(k+1)+1]
=2k^2+2k+2-k^2-2k-1-k-1-1
=k^2-k-1
=(k-1/2)^2-5/4
因为k>=5, 所以(k-1/2)^2-5/4>0
2k^2+2k+1-[(k+1)^2+(k+1)+1]>0
2k^2+2k+1>[(k+1)^2+(k+1)+1]
所以2^(k+1)>(k+1)^2+(k+1)+1
得证